BIẾN NGẪU NHIÊN
Bài 4
MỤC TIÊU
1. Trình bày được khái niệm biến ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên rời rạc, biến ngẫu nhiên liên tục.
2. Hiểu được quy luật phân phối xác suất và hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên.
3. Biết cách tính toán và hiểu được ý nghĩa các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên.
1. Biến ngẫu nhiên
Khái niệm
Biến ngẫu nhiên:
Đại lượng phụ thuộc vào kết cục của một phép thử ngẫu nhiên nào đó.
Biến ngẫu nhiên chính là đặc trưng định lượng cho các kết quả ngẫu nhiên của phép thử.
Biến ngẫu nhiên nhận các giá trị thực không thể định trước.

Gọi X là biến ngẫu nhiên còn x là giá trị cụ thể quan sát được của X trong một phép thử
Ví dụ: X là số lần xuất hiện mặt sấp sau 2 lần tung đồng xu: x=0,1,2

1. Biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên rời rạc
Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó chỉ nhận một số hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị, nghĩa là tập giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc chỉ có hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các phần tử

Ví dụ 2: Số bệnh nhân vào viện trong ngày; số bệnh nhân điều trị khỏi trong năm; số hồng cầu, bạch cầu của một người; số con của một gia đình; … là các biến ngẫu nhiên rời rạc.
1. Biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên liên tục
Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trên trục số, nghĩa là tập giá trị của biến ngẫu nhiên liên tục có số phần tử vô hạn không đếm được, vì vậy ta không thể liệt kê được tất cả các giá trị có thể có của nó.


Ví dụ 3: Chiều cao, cân nặng, các kích thước đo được của cơ thể, của các cơ quan nội tạng, số đo huyết áp của bệnh nhân; tuổi thọ của bóng đèn điện tử, là các biến ngẫu nhiên liên tục.
2. Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Định nghĩa: Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là sự tương ứng giữa các giá trị có thể của nó và các xác suất tương ứng với các giá trị đó.

Để mô tả quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc, người ta thường sử dụng bảng phân phối xác suất hoặc hàm phân phối xác suất.

Còn với biến ngẫu nhiên liên tục, người ta dùng hàm phân phối xác suất hoặc hàm mật độ xác suất.
2. Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Bảng phân phối xác suất (chỉ sử dụng cho biến ngẫu nhiên rời rạc)
Bao gồm 2 dòng: Dòng thứ nhất ghi các giá trị số của biến ngẫu nhiên, dòng thứ hai ghi xác suất tương ứng.
Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có thể nhận một trong các giá trị có thể có là x1, x2, …, xn với các xác suất tương ứng là p1, p2,..pn. Khi đó, bảng phân phối xác suất của X có dạng:
Trong đó: pi = P(X = xi) (i = 1, 2,…,n)
2. Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
 
2. Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Bảng phân phối xác suất
Ví dụ 4: Xét phép thử tung một con xúc xắc cân đối đồng chất. Gọi X là số chấm xuất hiện ở mặt trên của con xúc xắc. X là một biến ngẫu nhiên rởi rạc có bảng phân hối xác suất như sau:
2. Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Hàm phân phối xác suất (sử dụng cho cả hai loại: biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục)

Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ, x là một số thực nào đó. Xét biến cố “Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị < x”, kí hệu (X­­ < x). Khi đó, hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là F(x), được xác định bởi công thức:

F(x) = P(X
Trong đó x là biến số có thể lấy giá trị là một số thực bất kì.
2. Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Hàm phân phối xác suất (sử dụng cho cả hai loại: biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục)
Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất (4.1) thì hàm phân phối xác suất F(x) được xác định bằng công thức:
 
 
2. Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Hàm mật độ xác suất (chỉ sử dụng cho biến ngầu nhiên liên tục)

Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X (kí hiệu f(x)) là đạo hàm bậc nhất của hàm phân phối với xác suất của biến ngẫu nhiên đó:
f(x) = F(x) (4.5)
2. Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
 
3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Các tham số đặc trưng của biến ngầu nhiên được chia thành 03 loại:
Các tham số đặc trưng cho vị trí của biến ngẫu nhiên như: kỳ vọng, trung vị, mốt,…
Các tham số đặc trưng cho độ phân tán của biến ngẫu nhiên như: phương sai, độ lệch chuẩn, hệ số biến thiên…
Các tham số đặc trưng cho dạng phân phối xác suất.
Ở đây ta chỉ hạn chế ở việc xem xét năm tham số đặc trưng quan trọng nhất là: Mode, Median, Kỳ vọng, Phương sai và Độ lệch chuẩn,
3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Mode (Yếu vị)
Mode của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là Mod X, là giá trị x0, sao cho:
P(X + x0) max, nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc.
F(x0) max, nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f(x).

Lưu ý: Mod X còn được gọi là giá trị tin chắc nhất hay giá trị chắc chắn nhất của biên ngẫu nhiên X.
3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Median (trung vị)
Median của biến ngẫu nhiên X (còn gọi là trung vị của X), ký hiện là Med X, là số thực m thỏa thuận:
 
Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì:
 
3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Kỳ vọng (trung bình)
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là E(X), được xác định như sau:
Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phố xác suất (4.1) thì:

E(X)= xipi
Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ f(x) thì:

E(X) =
3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Kỳ vọng (trung bình)
Ví dụ 8: Tìm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau:
E(X) = xipi= 2.0,3+3.0,1+5.0,6=3,9
3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Phương sai (bình phương của độ lệch chuẩn)
Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu D(X) hoặc V(X) hoặc Var(X) là kỳ vọng của bình phương độ lệch của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng của nó:
D(X) = E (X-E(X))2 (4.8)
Trong thực tế việc tính phương sai bằng công thức định nghĩa trên có thể gặp khó khăn. Người ta thường tính phương sai bằng công thức sau:
D(X) = E (X2)-(E(X))2 (4.9)
3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Phương sai (bình phương của độ lệch chuẩn)
Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phố xác suất (4.1) thì (4.9) có dạng:

D(X) = pi - 2


Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) thì (4.9) có dạng

D(X) = 2f(x)dx - 2
 
 
3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Phương sai (bình phương của độ lệch chuẩn)
Ví dụ 10: Biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau:
Kỳ vọng E(X) = = 1.0,1+3.0,5+4.0,4=3,2
Kỳ vọng E(X)2 = pi = 12.0,1+32.0,5+42.0,4=11
Phương sai D(X) =E (X)2 - (E(X))2 = 11 – (3,2)2 = 0,76
3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên